Indépendance - Exemple 4 : avec un arbre pondéré

On considère deux événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  de probabilités non nulles dans un univers  \(\Omega\) , avec lesquels on construit l'arbre pondéré suivant. Les événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  sont-ils indépendants ?

Méthode 1  Avec l'intersection
\(P(\text A \cap \text B ) =0,3 \times 0,2 = 0,06\) .
\(P(\overline{\text A} \cap \text B ) =0,7 \times 0,4 = 0,28\) .
La formule des probabilités totales donne
\(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P( \overline{\text A} \cap \text B) = 0,3 \times 0,2 + 0,7 \times 0,4= 0,34\) .
Donc  \(P(\text A) \times P(\text B) = 0,3 \times 0,34 = 0,102\) .
Comme  \(P(\text A \cap \text B ) \ne P(\text A) \times P(\text B)\) , on en déduit que les deux événements ne sont pas indépendants.

Méthode 2  Avec les probabilités conditionnelles
On lit que  \(P_\text A(\text B) = 0,2\)  et, avec la formule des probabilités totales,    \(P(\text B) = P(\text A \cap \text B) + P( \overline{\text A} \cap \text B) = 0,3 \times 0,2 + 0,7 \times 0,4= 0,34\) . Donc  \(P_\text A(\text B) \ne P(\text B)\) , donc les événements  \(\text A\)  et  \(\text B\)  ne sont pas indépendants.